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回忆做华罗庚研究生的日子

 

冯克勤

 

学校研究生院要我为《研究生教育》写一篇文章,这使我回忆起自己做华罗庚老

师研究生的那些难忘的日子。我愿意把它讲述给现在的年轻研究生们,并藉此寄

托我对导师的怀念之情。

 

 

和中国的许多学生一样,我在孩童时期就对数学着了迷。我和妹妹只吵过一次架,

而且我把她揍得很凶,那是因为在小学时她把我的数学习题本剪碎了,使我心疼

至极而愤怒得失去控制。在天津一中上高二时,每个星期天中午不吃饭,跑到天

津市图书馆去读华罗庚的《数论导引》。高三毕业时,中国科技大学招生人员来

天津一中,说1958年我校上届学生朱滨考上科大,使天津一中的信誉很高,动员

我们也考科大。我在招生手册中看到华罗庚给科大58级学生上课的一张照片,便

马上报了名。

在科大五年(1959—1964)的大学生活是难以忘怀的。那时的科大学生生活真正

是“团结、紧张、严肃、活泼”。学校领导对我们的教导是:他们和先烈们创建

了统一的新中国,我们的任务就是努力学好知识,把中国建成强大的国家。当时

的祖国一派生机勃勃,年青人充满了单纯的理想。我在科大踏踏实实地念了五年

数学。许多老科大人都知道科大数学系有三条“龙”,即华龙(华罗庚)、关龙

(关肇直)和吴龙(吴文俊),我在大学前三年属于关龙,关肇直老师的课有一

种高屋建瓴的气势,并富有哲理性。我也听过吴文俊先生的代数几何课,每次课

一气呵成,条理清晰,思路敏捷。到了1962年,华罗庚要在我们班开设代数与数

论专业,我成了这个专业的学生。当时教我们代数的是华罗庚、万哲先和曾肯成

三位大家,教数论的是王元和吴方两名高手,辅导教员是谢盛刚和徐诚浩,在这

样的教授手下学习真是令人振奋。1963年,吴方老师带我做大学毕业论文,题目

是《椭圆内的整点问题》,那是把陈景润关于圆内整点的最新结果推广到椭圆上,

曾经得到陈景润的亲自指点。文章作好后,华罗庚同意作为大学毕业论文,并发

表在《科大校庆五周年论文集》中,这是我的第一篇学术论文。1964年毕业前夕,

我考上了华罗庚的数论研究生。

 

 

华罗庚在60年代共招了11名研究生,他任科大副校长之后,把很大的精力放在科

大培养学生。62年研究生为钟家庆、孙继广、曾宪立和陆洪文,63年为林秀鼎,

64年为徐传宣、那吉生、贺祖琪、陈文德、裴定一和我。我们分别学习华罗庚从

事的三个重要研究方向:多复变函数论、代数学和数论。他给我定的方向是代数

数论。40年代他本人在美国作过不少杰出的数论工作。回国后于50年代培养了一

批优秀的解析数论学生(陈景润、王元、越民义、吴方等)。但他一直希望有人

继续从事代数数论工作。这期间,他和王元正在从事数在积分近似计算中的应用

的研究,考虑用分圆域的单位构作积分插值,减小高维积分的计算量并提高误差

精度。我对代数和数论相交叉并有实际应用的这个研究领域非常合意。

华罗庚指导研究生的方针是以自学为主,指定要念的书,参加一些讨论班,并平

均每两周和他谈一下学问。他要我念一本Landau的书:《代数数域上的解析方

法》,要我念几篇文章,包括他和王元正在做的积分近似计算的文章初稿。参加

他主持的一个“不等式”讨论班,大家共同讨论Bellman当时刚出版的一本关于

不等式的书。参加讨论班的除了我们研究生,还有其他专业的科大教员,比如有

作概率论的殷涌泉。在一个权威人士带领下,不同学科的人员共同讨论一个课题,

是华罗庚从事研究和培养人材的十分显著的特点。而且每个讨论班都有明确的长

远目的。他组织“不等式”讨论班的目的是锻炼我们的基本功,更长远的想法是

他想从事数理经济学的研究,不等式是一个重要工具。这个讨论班给我的印象极

为深刻。在讨论班第一次课上他说:“我叫你们念这本书是因为我不认为这本书

写得很好”。他认为,用他精湛的矩阵技巧可以更系统地整理此书中许多矩阵不

等式,归结于少数几个手段,使书中的内容看起来非常简单。这是他一贯倡导的

“从薄到厚,又从厚到薄”读书方法的典型体现。记得我在他这种不迷信前人的

熏陶之下,改进了此书中的一个不等式,并且在某种意义下改进到最佳程度。听

殷涌泉和当时华罗庚的秘书王柱对我讲,华对我的结果和方法颇为欣赏,但他并

没有为此事当面夸奖过我。他对学生的要求是非常严格的。他要我们干的事,都

要定期有个交待,决不能抱有“他会忘记”的侥幸心理。每次见他之前,都抱着

小心翼翼的敬畏的心情,不但在数学上作好准备,而且要想好如何答复他提出的

问题。对于不满意的学生他会当众训斥(但是次数不多),但对符合心意的人,

或者看到我们的成绩,他是由衷高兴的。这从严的要求使我终生受益匪浅,督促

我学业不断进步,永不自满。

正是在1964年,张劲夫和郁文等有远见的中科院领导决定成立中科院研究生院,

把在全国各所的研究生集中到北京中关村学习一年。我们一共分成四个班,大家

的专业从数理化一直到考古学,我对这些五花八门的专业感到很新奇,大家相处

很融洽。1965年,我去北京顺义县“四清”,然后就开始了“文化大革命”,所

以,我的研究生学习只进行了不到一年。1968年10月,我们六位同班同学均被分

配到北京之外,我被分配到山西太原公司在动力厂当电工。1973年5月回到已下

迁合肥的科大,不久去北京随万哲先老师学习代数编码理论。万哲先老师组织我

们几位举行代数数论讨论班,随后北大的聂灵沼、丁石孙先生也参加进来。于是

时隔8年,我又重操旧业,继续华老师叫我从事的工作。1979—1981年,我去美

国进修,学习了西方代数数论的新进展,直到今天,这仍是我的主要研究方向。

 

 

华罗庚老师于1985年6月12日在日本东京大学的讲台上猝然倒地,至今已经9年了。

他对世界数学的杰出贡献是举世公认的。他的治学精神和对待人生的态度,则集

中表达在他经常讲的名言警语之中。

他多次讲过“天才在于勤奋,聪明在于积累”。熟悉他经历的人都懂得这句话的

份量。华罗庚于1910年11月12日出生在江苏省金坛县。父亲华瑞栋开代销店。华

罗庚在金坛中学初中毕业后,家里无力供他上高中,便帮助父亲经营小店。1928

年,金坛发生流行瘟疫,他的母亲染病去世,他也卧床六个月未翻身,导致左腿

残废。就在这时,留法回国的王维克在金坛中学教书,借书给华罗庚看(一本大

代数,一本解析几何,一本50页的微积分)。他开始对数学着迷,边站柜台边自

学数学。由于影响作生意,他父亲多次要撕掉他的“天书”。1929年他在《科学》

14卷上发表了第一篇论文。他的第二篇论文(1930年《科学》第15卷)引起清

华大学数学系主任熊庆来的注意。他于1931年推荐华罗庚作数学系助理,管图书、

公文和打字等。至1933年,他的数学水平和能力已为大家公认,由于叶企荪教授

仗义执言(“清华出了个华罗庚是好事,不应资格问题限制人才使用”)。他破

格提升为助教,教微积分。1935年又升为教员,这期间,他除了对高等数学基础

知识全面认真学习之外,对数论尤有兴趣,曾受到杨武之教授的指点。1936年法

国数学家阿达玛和美国数学家维纳来清华系统讲学,好学勤奋的华罗庚使他们深

深感动。1936年,在维纳推荐下华罗庚以访问学者身份去英国进修,在剑桥大学

受著名解析数论学家哈代的指点。至此,由于他顽强的努力和众多专家的引荐,

他终于登上了数学研究的世界舞台。在这里,起根本作用的是他自强不息的精神,

即他所说的,要“锲而不舍,持之以恒”,“勤奋刻苦”。诚如他于1980年3月

的一次为别人的题词:“苦干猛攻埋头干,熟能生出百巧来。勤能补拙是良训,

一分辛苦一分才”。我到他家或办公室去,总是看到桌上铺满了书籍和草稿纸。

1978年他已身背氧气瓶,我到北京医院去看他,他正躺在床上计算分圆单位,寻

找新的恒等式,亲手把布满公式的一个笔记本交给我。后来,裴定一和我完成了

他的一个想法,尽管他和王元都参与过这项研究,他让裴和我发表了(1980年),

这是他(在病床上)指导我的最后一篇论文。我还要讲一件事,那是在78年前后,

我去北京时中午常在他办公室休息。每天午睡前都要从一个布袋里随机地抽取五

封信读读,那是从全国各地寄给他的。多数表达了人们对他的热爱和敬仰,其中

也不乏溢美之词,有些甚至到肉麻的程度。他逝世后,中科院数学所在他办公室

里整理出足足四麻袋草稿纸!这些年来,我常把这个故事讲给年青人,希望他们

不要只看到那个布袋,不要只看到他的成绩和荣誉,而那四个麻袋是他劳动和汗

水的化身,才是他的真正价值。当前改革开放的形势为年青人创造了更多的机会,

但也助长了某些人逃避艰苦的思想。我相信,任何一种真正的事业都是通过艰苦

劳动得来的,我这种坚定的信念来源于华罗庚老师的榜样:尽管他是天才,他仍

然勤奋了一生!

 

 

华罗庚非常强调基本功的重要性。首先,他舍得在基础知识上多花工夫,他说

“在中学时,别人花一小时,我就花两小时。而到工作时,别人花一小时解决的

问题,我有时就可能用更少的时间去解决了”。他多次对我们讲过,他花了整整

两年去念了Weyl的《群表示论》一书,一直到他认为真正念懂了,并且化成了自

己的语言—矩阵,然后作为工具研究多复变函数,写了《典型域上调和分析》一

书。“基本功要练成什么样呢?”他说“要练得很熟,熟了才能有所发明和发现,

熟能生巧,在练基本功时最忌讳好高婺远,不要怕粗活,不要轻视点滴工作。轻

视困难和惧怕困难是孪生兄弟,往往会出现在一个人身上,例如有人轻视复杂的

计算,实际上是惧怕计算。我看见过不少青年,眼高手低,浅尝辄止,匆匆十年,

一无成就。”他把练基本功比喻为练拳,要“拳不离手,曲不离口”。

他鼓励年青人,做学问要勇于和强者较量。为此,他把“班门弄斧”这句成语反

其道而行之,主张“弄斧必到班门”。只有和强者较量才能增长见识和做出高水

平成果。另一方面,他又强烈主张不迷信别人,“只是跟着别人的脚印走路,那

就总要落后别人一步”,“在科学研究中最主要的精神之一是创新精神”。他多

次对我们讲,要做出好的文章,关键是要有几手自己的“招路”和“拿手好戏”,

别人都不如你,这样你才能做出新的东西,人家才注意你。华罗庚的这一治学思

想对他的学生影响极大。前面说过,华罗庚对矩阵工具的纯熟使他在数学的多个

领域中都取得国际水平的成就,并使研究工作有他自己的特点。曾肯成先生曾有

一句戏言:“龙生龙,凤生凤,华罗庚的学生会打洞”,所谓“打洞”即指矩阵

对角化,使非对角元素均为零。又如:他对于体的研究也是很独特的他发现了体

一些别开生面的恒等式,由此出发建立了体上许多新奇结果。这种方法经曾肯成

又传李尚志,使李尚志近年来在体上典型群的极大子群研究中得出国际上最完整

和系统的成果。华罗庚用矩阵工具发展出矩阵几何,并用来研究模形式理论,他

和他的学生万哲先写了《典型群》一书。在六十年代,万哲先带领学生们用限域

上典型群理论系统地构作试验设计方案,近来又用于编码理论。在解析数论方面,

他的许多世界一流的贡献归结于他对数论工具的创新。他还和王元一起发展了近

似计算的数论方法(国际上称为华—王方法)。这一切表示出华罗庚的数学研究

有一种鲜明的个性,具有从庞杂中看透本质的深刻洞察能力和一种数学大家的风

范,体现着勇攀高峰的强烈创新精神。这种风格深深地影响了下几代而形成“中

国学派”。

 

 

华罗庚对于中国的数学教育和科学发展倾注了极大的热情,也发表了许多精辟的

见解。他多次为全国各地中学生和中学教员做演讲,是中国数学竞赛的创始人之

一.1981年他访美六个月,受到48个大学的邀请,访问了其中26所美国大学,感

触颇深,写了一个汇报。在汇报中他对于中外的数学教育作了对比,对于中国的

教育和科研提出许多中肯的意见。这里只举几个例子,他认为,“中国人一般刻

苦用功,考试可以得好分数,但创造性的思考欠缺,这和国内填鸭式教学有关”。

他极力主张派人出国学习,至于这些人的回国问题,关键不在于“物质上差异”

而在于“安置好他们的工作,让他们发挥作用”。他认为“研究人员应当教书,

有助于他的研究工作和培养新人”,研究所“人数要少而精”。“我们某个所的

党委书记给外宾介绍情况说:我们所很小,只有六百人,云云,已被人传为笑

谈”,“研究员和教授不应都是永久牌的”。对于学术评价,他也有两句名言:

“早发表,缓评价”,“努力在我,评价由人”,“我认为这对学术的发展是有

益的,我们以往有许多评价太急,在国外造成不好的印象,在国内我就不知道有

华不等式,华方程、华算子、华定理等第,出来之后才知道那是指的什么,好的

工作,国外人家是不会抹煞的,与其自己这样说倒不如迟十年二十年由人家说去”。

对于目前学术鉴定会过滥和自己动不动就称为“国际水平”的风气,华罗庚的这

些话是很值得深思的。

以上是我想到的华老师的教诲。但我还没有说到他对我更重要更深远的影响,这

个影响在我作学生的时候并没有多少察觉。因为那时我还是未出校门阅历不深的

学生,在我到了中年,经历了社会的风风雨雨,这种影响才显露出来,那就是一

个人应当如何对待困难和挫折,如何选择人生的道路。

我已经说到华罗庚少年和青年时代之艰苦,我也听过华师母泪流满面地诉说,丈

夫远渡重洋去英国求学时,她只身一人在上海照顾两个生病的孩子,可以想象一

个残疾人离开妻子儿女是什么滋味。1937年抗日战争爆发,华罗庚从英国回来,

在昆明市的西南联大作教授。据段学复回忆,他们的讨论班常被敌机轰炸中断,

华罗庚拖着残腿跑路极不方便,有一次被弹片溅起的泥土盖住全身,后来索性住

在农人家里。1946年华罗庚到了美国,1948年成为伊利诺大学正教授,他的数学

研究处在顶峰时期,工作也有了保障,这对于艰苦奋斗了半生的华罗庚,无疑是

极好的人生归宿。然而,他在1950年2月又毅然放弃了优厚的职位,携全家动身

回到新中国,这是他一生中最重要的抉择!

 

 

对于他的回国,特别是看到或听到他回国后的坎坷经历,国内外数学家历来有各

种不同的看法后评价,他在美国的不少朋友都抱有惋惜之情,华罗庚自己则是充

满信念的。在回国途中,他发表了热情洋溢的《致中国全体留美学生的公开信》,

信中说:“梁园虽好,非久居之乡,归去来兮!……为了抉择真理,我们应当回

去,为了国家民族,我们应当回去,为了为人民服务,我们也应当回去!”1992

年,美国数论学家哈泼斯坦在国际数论杂志《Acta Arithmefiea》上写了一篇纪

念华罗庚逝世的文章,文中说:“如果有许多中国数学家现在在科学的新领域中

作出特殊的贡献,如果数学在中国享有异常的普遍尊重,那就要归功于作为学者

与教师的华罗庚50年来对他国家的数学事业所作的贡献”。研究数学史的美国人

贝特曼写道:“华罗庚一直是中华人民共和国第一流的科学巨人之一,像爱因斯

坦在美国一样,最后成为本国传奇式的科学家,……人们可能会设想,如果他留

在西方,他将可能完成更多的个人研究计划。然而,如果这样做,他就不可能如

他最后30年所做的,在中国发展数学及其应用中起到中心作用”。他的好友赛尔

伯格也说:“要是华罗庚像他的许多同胞那样,在第二次世界大战之后仍然留在

美国的话,毫无疑问,他本来会对数学作出更多的贡献。另一方面,我认为,他

回国对中国是十分重要的,很难想象,如果他不曾回国,中国的数学会是什么

样”。上届美国数学会主席格雷厄姆也说:“华罗庚比起历史上任何一位数学家

来,受他直接影响的人可能更多。”

这些外国人对华罗庚的评价他是当之无愧的。华罗庚于1950年3月16日到达北京,

执教于清华大学数学系,并筹备成立中科院数学所。1952年被任命为所长,一切

工作重新开始。他诸方网罗人材,生气勃勃,工作进展神速,先成立数论组(华

罗庚,越民义,王元,许孔时,吴方,魏道政)和微分方程组(吴新谋,秦元勋,

王光寅,丁夏畦,邱佩璋),后成立代数组(华罗庚,陆启铿,龚升),拓扑组

(吴文俊,张素诚,孙以丰),泛函分析组(关肇直,田方增,冯康),数理逻

辑组(胡世华,唐稚松,陆钟万),概论统计组(张宗燧,戴元本),力学组

(庄逢甘等),计算机设计组(闵乃大,吴几康,夏培肃),他从厦门大学调来

陈景润,亲自领导“数论导引”和“歌德巴赫猜想”两个讨论班,数学所还向全

国开放。从回国到1957年,他的工作受到毛主席和数学家们广泛支持,写了四本

专著,工作十分有成效。他在50年代的许多学生后来为中国数学作出杰出贡献,

或者改行后,在计算机科学等领域成为学术带头人。

 

 

1957年反右运动中他成了数学所重点批判对象。在1962年,他又以极大的勇气整

顿数学所,提倡在研究实习员中进行基础课考试,成绩太差的调离,并开辟“练

拳园地”以增强学术空气。但好景不长,华罗庚这些作法被说成是“资产阶级的

反功倒算”,使他非常灰心,几次对我们说:“数学所的所长我不干了,没什么

关系,厕所也是所。”于是,他把工作重心转到中国科技大学。从1958年,他的

研究工作明显地放慢了速度,但仍以固有的顽强毅力,在科大重整旗鼓,培养学

生,把王元也带到科大来。并开始从事积分近似计算和统筹优选化等应用性研究

工作。

1966年文革开始,他被抄家,手稿散失,至今没有下落。他遭到多次批判,被罚

打扫数学所的厕所。直到1970年3月4日,周恩来批示要保护华罗庚,将他的关系

转到人大常委,才得以安静。他仍然到全国各地推广优选法。1976年文革结束,

他积极工作,但已年迈体弱,力不从心,患心肌梗塞多次,背起氧气瓶还提出

“甘作人梯”的口号,一直工作到倒在东京大学的讲台上。

1982年,他回忆起刚回国时的心情说:“50年由美国回来时,好象入伍的新兵,

斗志旺盛,一心想在祖国建设中尽一份力”。他为祖国耗尽了最后一份精力,他

的一生有许多好的机遇和顺利的环境,也有不少艰难与困苦。他在任何环境中都

自强不息和勇于开拓,使我们永不忘怀。对于那些艰苦创业的人们,人类历史总

是给予特殊的地位。今天,我们国家的政治和经济上都有很大进步,但也仍有许

多不尽人意的地方,让我们以华罗庚为榜样,克服困难,继续勇敢地向前迈进!

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